Sanningstabellen

Vad är sanningstabell:

Sanningstabellen eller sanningstabellen är ett matematiskt verktyg som används allmänt inom området logisk resonemang. Dess syfte är att verifiera den logiska giltigheten av ett sammansatt proposition (argument bildat av två eller flera enkla propositioner).

Exempel på föreslagna propositioner:

  • John är lång och Maria är kort.
  • Pedro är lång eller Joana är blondin.
  • Om Pedro är lång är Joana röd.

Vart och ett av de ovan angivna propositionerna är utformade av två enkla propositioner förenade med kopplingarna med fetstil. Varje enkel proposition kan vara antingen sann eller falsk och detta kommer direkt att innebära det logiska värdet av föreningstillfället. Om vi ​​antar frasen " John är lång och Maria är låg " kommer de möjliga värderingarna av detta uttalande att vara:

  • Om John är lång och Maria är låg, är frasen "John lång och Mary är låg" SANT.
  • Om John är lång och Maria inte är låg, är frasen "John lång och Mary är låg" felaktig.
  • Om John inte är lång och Maria är låg, är frasen "John lång och Mary är låg" felaktig.
  • Om John inte är lång och Maria inte är låg, är frasen "John lång och Mary är låg" FALSK.

Sanntabellen schematiserar samma resonemang (se Konjunktionsämnet nedan) mer direkt. Dessutom kan sanningstabellreglerna tillämpas oberoende av antalet propositioner i meningen .

Hur fungerar det?

Först, vrid propositionerna av frågan till symboler som används i logiken. Den universellt använda symbollistan är:

symbolLogisk operationbetyderexempel
p.Förslag 1p = John är lång.
q.Förslag 2q = Maria är låg.
~förnekandegör det inteOm John är lång är " ~ p " felaktig.
^tillsammansochp ^ q = John är lång och Mary är låg.
vdisjunktionellerp v q = John är lång eller Mary är låg.
villkorligom så är falletp q = Om John är lång är Mary låg.
biconditionalom och endast omp q = John är lång om och bara om Mary är låg.

Därefter läggs ett bord med alla möjligheter till värdering av ett sammansatt proposition, ersätter bekräftelserna med symboler. Det är värt att klargöra att i fall där det finns mer än två propositioner kan de symboliseras med bokstäverna r, s och så vidare.

Slutligen appliceras den logiska operationen som definieras av den visade anslutningen. Enligt listan ovan kan dessa operationer vara: förnekelse, konjunktion, disjunktion, villkorlig och villkorlig.

förnekande

Förnekelse symboliseras av ~. Den logiska funktionen av förnekelse är den enklaste och skiljer ofta användningen av sanningstabellen. Efter samma exempel, om John är lång (p) för att säga att John inte är hög (~ p) är FALSK, och vice versa.

tillsammans

Sammanhanget symboliseras av ^ . Exemplet "John är lång och Mary är låg" kommer att symboliseras av "p ^ q" och sanningstabellen kommer att vara:

Sammanhanget föreslår en uppfattning om ackumulering, så om en av de enkla propositionerna är falsk, är det omöjligt för det sammanslagna förslaget att vara sant.

Slutsats : Konjunktiva kompositförslag (innehållande bindande e ) kommer bara att vara sanna när alla element är sanna.

exempel:

  • Paulo, Renato och Tulio är snälla och Caroline är rolig. - Om Paulo, Renato eller Tulio inte är snäll eller Carolina är inte kul, kommer propositionen att vara FALSK. Det är nödvändigt att all information är sant så att den föreslagna propositionen är SANT.

disjunktion

Disjunctionen symboliseras av v . Byte av kopplingen från exemplet ovan till eller vi kommer att ha "John är lång eller Mary är låg". I så fall symboliseras meningen med "p v q" och sannoliktabellen kommer att vara:

Disjunctionen innebär en idé om alternering, så det räcker att en av de enkla propositionerna är sanna så att föreningen är också.

Slutsats : Disjunktiva kompositförslag (innehållande eller bindande) kommer bara att vara falska när alla deras element är falska.

exempel:

  • Min mamma, min pappa eller min farbror ger mig en gåva. - För att satsen ska vara SANT, räcker det med att endast en mellan moderen, far eller farbror ger nutiden. Förslaget kommer bara att vara FALSKT om ingen av dem ger det.

villkorlig

Den villkorliga symboliseras av →. Det uttrycks av anslutningarna själva och , vilka sammanlänkar de enkla propositionerna i ett kausal förhållande. Exemplet "Om Paulo är Carioca, då är han brasiliansk" blir "p q" och sannoliktabellen kommer att vara:

Conditionals har ett antecedent och ett följdriktigt förslag , åtskilda av förbindningen . I analysen av conditionals är det nödvändigt att utvärdera de fall där förslaget kan vara möjligt, med tanke på förhållandet mellan implikationer mellan antecedent och följd.

Slutsats : Förutsatta föreslagna föreslagna propositioner (som innehåller bindningarna om och endast) kommer bara att vara falska om den första propositionen är sann och det andra förslaget är felaktigt.

exempel:

  • Om Paulo är en Carioca, då är han brasiliansk. - För att detta förslag ska betraktas som TRUE, är det nödvändigt att utvärdera de fall där det är möjligt. Enligt sanningen tabellen ovan har vi:
  1. Paulo är brasilianskt / Paulo är brasilianskt = MÖJLIG
  2. Paulo är carioca / Paulo är inte brasiliansk = OMSÄTTLIG
  3. Paulo är inte från Carioca / Paulo är brasiliansk = MÖJLIG
  4. Paulo är inte en Carioca / Paulo är inte en brasiliansk = MÖJLIG

biconditional

Biconditional är symboliserad av ↔. Det läses genom anslutningarna om och endast om de sammanlänkar de enkla propositionerna till en ekvivalensrelation. Exemplet "John är glad om och bara om Maria ler." blir "p q" och sanningstabellen kommer att vara:

Biconditional föreslår en idé om ömsesidigt beroende. Som namnet självt visar, är två villkoret består av två villkor: en som avviker från p till q (p q) och en annan i motsatt riktning (q p).

Slutsats : Föresatser som består av två villkor (innehållande kopplingarna om och endast om ) kommer bara att vara sanna när alla propositioner är sanna, eller alla propositioner är falska.

exempel:

  • John är glad om och bara om Maria ler. - Det betyder att:
  1. Om John är lycklig, Maria ler och om Maria ler, är John glad = SANT
  2. Om João inte är glad, ler Maria inte och om Maria inte ler, är João inte glad = SANT
  3. Om John är glad, ler Maria inte = FALSK
  4. Om John inte är glad, ler Maria = FALSK

Allmän översikt

Det är vanligt för lärare av sanningstabellen att memorera slutsatserna av var och en av de logiska operationerna. För att spara tid på problemlösning, kom alltid ihåg att:

  1. Konjunktiva förslag: De kommer bara att vara sanna när alla element är sanna.
  2. Disjunktiva propositioner: De kommer bara att vara falska när alla element är falska.
  3. Villkorliga propositioner: De kommer bara att vara falska när den första propositionen är sant och den andra är falsk.
  4. Bicondicional Propositions: De kommer bara att vara sanna när alla element är sanna, eller alla element är falska.